若f(x)=(mx^2+4x+m)^(-3/2)+(x^2-mx+9)的定义域为R，求m的范围

条件等价于求mx^2+4x+m>0恒成立的条件.
m>0且16-4m^2<0
所以m>2

首先对f(x)进行简化，也就是变成一个易懂的形式。很明显不管m为何值，后半部分x^2-mx+9的定义域就是R，也就是说后半部分的定义域不依赖于m的值，所以它不决定m的取值范围。再看前半部分，经简化后为一个分式，分子是1，分母是二次根号下(mx^2+4x+m)^3，为了使这个式子有意义，根号里面的东西肯定要≥0，其次又因为这个式子在分母上所以要≠0，故要求(mx^2+4x+m)^3＞0，也就是要求(mx^2+4x+m)＞0。为了使f(x)的定义域是R，那就要取m的值使得(mx^2+4x+m)^3＞0对一切x∈R都成立。假设m＝0，显然(mx^2+4x+m)＝4x不可能对任何x∈R都＞0。如果m<0,则根据二次函数知识，mx^2+4x+m的图像开口向下，也不可能对任何x∈R都＞0。如果m>0，则此时mx^2+4x+m的图像开口向上，为了使得(mx^2+4x+m)＞0对一切x∈R都成立，故我们就要取m的值使得(mx^2+4x+m)的图像在x轴的上方，也就是使得(mx^2+4x+m)的图像与x轴没有交点，换一种说法就是二次方程mx^2+4x+m＝0没有解，也就是△<0,故△＝16－4m^2<0即m^2>4，故m>2或m<-2.